Nadzieja (matematyczna) matką przezornych

 

Wszyscy mamy jakieś oczekiwania w stosunku do przyszłości. Pytanie jednak brzmi, czy wszyscy potrafimy je dobrze formułować? Zbyt niskie oczekiwania nie pozwalają wykorzystać pełni potencjału, a zbyt wysokie prowadzą do rozczarowań. Dotyczy to wielu dziedzin, w tym również finansów osobistych, oraz podejmowania decyzji związanych z ryzykiem. Jak znaleźć złoty środek? Postaram się przedstawić Ci jeden ze sposobów. Uprzedzam jednak, że wymaga on umiejętności dodawania, odejmowania, a nawet mnożenia i dzielenia.

W moim pierwszym wpisie na blogu pisałem, że „świadome podejmowanie ryzyka oznacza chęć osiągnięcia korzyści, kosztem możliwości wystąpienia efektu odmiennego od oczekiwanego”. W powyższym zdaniu bardzo ważne jest dokładne zrozumienie, czym jest ten oczekiwany efekt. W tym celu przyjrzyjmy się opisanej poniżej grze, w której udział bierze nowy bohater mojego bloga – nazwijmy go Losowym Leszkiem.

Krótka dygresja: Odwołanie się do różnych „gier” jest najłatwiejszym sposobem zobrazowania sytuacji decyzyjnych w warunkach ryzyka. Rozwój badań nad ryzykiem i metod zarządzania nim ma swoje historyczne początki w grach hazardowych. Paradoksalnie, to właśnie odwieczne zamiłowanie ludzi do tego typu gier dało podwaliny dla rozwoju takich branż jak ubezpieczenia czy inwestycje.

Historia Leszka

Leszek na wakacjach w Kołobrzegu dał się skusić przydrożnemu zabawiaczowi tłumów, który oferował możliwość wzięcia udziału w grze „rzut kostką”. Zabawiacz zachęcał oczywiście potencjalnych klientów możliwością wygrania pieniędzy. Kluczowym elementem gry była kostka – ale nie klasyczna kostka sześcienna, a taka o ośmiu ścianach (tzw. oktaedr). Na 5 z 8 ścian widoczny był znak „-”, na 2 ścianach widniał znak „+”, a jedna ścianka była pusta. Wzięcie udziału w grze kosztowało 10 zł. Uczestnik mógł jednak wygrać 30 zł, jeśli udało mu się wyrzucić znak „+” (zakładamy oczywiście, że kostka była rzetelna, co oznacza, że prawdopodobieństwo wypadnięcia każdej ze ścianek jest takie samo). Jeśli wyrzucił pustą ściankę, to dostał swoje 10 zł z powrotem. Jeśli jednak wypadł znak „-”, to dycha zostawała w kieszeni  „zabawiacza”.

Moglibyśmy powiedzieć, że Leszek wziął udział w tej grze, oczekując, że mu się to opłaci. Przecież nikt nie wziąłby w niej udziału, oczekując, że przegra. Leszek liczy na to, że zgarnie 30 złotych – czy zatem 30 złotych jest w przypadku jego (ryzykownego) wyboru efektem oczekiwanym? Nie. Zauważ, że Leszek za udział w grze zapłacił 10 złotych, więc nawet jeśli uda mu się wyrzucić znak „+”, to będzie tylko 20 złotych na plusie. Więc może 20 złotych jest efektem oczekiwanym? Również nie. W końcu to wyrzucenie minusa, a nie plusa, jest najbardziej prawdopodobnym wynikiem gry. Ścianek z minusem jest 5, podczas gdy ścianki z plusem tylko 2 – szansa na przegraną jest więc 2,5 razy większa niż szansa na wygraną. To może efektem oczekiwanym jest przegrana 10 złotych? Po raz kolejny – nie.

Kształtując swoje oczekiwania co do wyniku gry, musimy brać pod uwagę wszystkie możliwe warianty. Nie tylko same efekty. Nie tylko same szanse ich wystąpienia. Oba te parametry trzeba rozważać jednocześnie. Z pomocą przychodzi tutaj właśnie matematyczna „wartość oczekiwana” – jedno z kluczowych narzędzi w procesie podejmowania decyzji w warunkach ryzyka. Nazywa się ją również „nadzieją matematyczną” (dzięki czemu ten wpis mógł dostać w miarę intrygujący tytuł). Wartość oczekiwana liczona jest według wzoru:

E = p₁ x w₁ + p₂ x w₂ + … + p_n x w_n

gdzie:

E – wartość oczekiwana

p_i – prawdopodobieństwo wystąpienia określonego (i-tego) wariantu

w_i – wartość (np. zysk lub strata) danego (i-tego) wariantu

n – liczba wszystkich możliwych wariantów

Jaka zatem będzie wartość oczekiwana gry, w której wziął udział Leszek? Zacznijmy od wypisania możliwych wariantów – ich wartości i szansy wystąpienia (prawdopodobieństwa):

Wariant 1 – wypada ścianka ze znakiem „-”

• p₁ = 62,5%  // prawdopodobieństwo wypadnięcia każdej ze ścianek wynosi 12,5% (czyli 1/8), a ścianek z minusem jest 5
• w₁ = -10 // w tym wariancie uczestnik gry traci 10 zł, które wpłacił za udział

Wariant 2 – wypada ścianka ze znakiem „+”

• p₂ = 25%
• w₂ = 20 // w tym wariancie uczestnik otrzymuje 30 zł, które należy pomniejszych o wpłacone na początku 10 zł

Wariant 3 – wypada pusta ścianka

• p₂ = 12,5%
• w₂ = 0 // w tym wariancie uczestnik wychodzi na „zero”

Teraz wystarczy podstawić dane do wzoru i wykonać obliczenia rodem ze szkoły podstawowej:

E = 62,5% x (-10) + 25% x 20 + 12,5% x 0

E = -1,25

Powyższy wynik wskazuje, że uczestnik tej gry powinien oczekiwać, że przeciętnie przegra w niej 1,25 zł.

Widzimy, że samo obliczenie wartości oczekiwanej może pokazać, czy dane przedsięwzięcie ma w ogóle jakikolwiek sens. Wskaźnik ten może być przy tym wykorzystywany nie tylko w przypadku prostych gier losowych. Jest bardzo ważnym kryterium w decyzjach dotyczących finansów (np. w inwestowaniu), a może być pomocny praktycznie w przypadku każdej decyzji obarczonej ryzykiem. Czasami pojawia się oczywiście pewien mały problem z prawdopodobieństwem, który jednak rozwiązujemy poniżej.😊

Nieprawdopodobny problem

Przedstawić wersję problemu, którą łatwo rozwiązać, i napisać, że w ten sam sposób można rozwiązać inne problemy – to byłoby bardzo wygodne dla autora 😊 W końcu opisany przeze mnie przykład dotyczy prostej sytuacji, w której prawdopodobieństwa podane są jak na tacy. W grach losowych te wartości są bardzo łatwe do obliczenia, bo wystarczy jedynie podzielić liczbę wariantów spełniających dany warunek przez całkowitą liczbę wariantów (jak to miało miejsce w przypadku kostki do gry). A co w innych sytuacjach? Skąd wziąć np. prawdopodobieństwo wzrostu ceny akcji jakiejś spółki albo prawdopodobieństwo wystąpienia na danym terenie suszy w konkretnym miesiącu lub w całym roku, albo prawdopodobieństwo wygrania finału Ligi Mistrzów przez konkretną drużynę?

W tych przypadkach nie mamy do czynienia z czystą losowością (choć nie wszyscy zgodziliby się co do przykładu z ceną akcji spółki), więc nie możemy wykorzystać obiektywnego prawdopodobieństwa. Na szczęście istnieje jednak coś takiego jak prawdopodobieństwo subiektywne. W zasadzie pozwala nam ono dowolnie określić prawdopodobieństwo jakiegoś wydarzenia. Mogę np. powiedzieć, że według mnie Bayern Monachium wygra tegoroczną edycję Ligi Mistrzów z prawdopodobieństwem 70%. Przy kursie 1,53 (taki znalazłem w dniu 16.08.2020 na stronie jednego z bukmacherów) opłaca mi się postawić pieniądze na zespół Roberta Lewandowskiego (czego nie zrobię, bo nie uważam, bym był w stanie ocenić prawdopodobieństwo wygranej lepiej niż bukmacher). Oczywiście ktoś może inaczej ocenić prawdopodobieństwo wygranej monachijczyków – w końcu mówimy o prawdopodobieństwie subiektywnym. Jest to jeden z (wielu) powodów, dla których jedni podejmują się jakiegoś przedsięwzięcia, podczas gdy inni uważają je za nieopłacalne.

Dla dociekliwych: Załóżmy, że chcę postawić 100 zł na Bayern Monachium. Według moich przypuszczeń na 30% stracę postawione 100 zł, a na 70% zarobię 53 zł (100 zł przemnożone przez kurs 1,53 daje kwotę 153 zł, którą muszę pomniejszyć o postawione 100 zł). Wartość oczekiwana dla tego zakładu wynosi 7,1 zł:   E = 30% x (-100) + 70% x 53 E = 7,1

Śmieci na wejściu, śmieci na wyjściu

Oczywiście należy pamiętać o ważnej zasadzie, która brzmi: „śmieci na wejściu, śmieci na wyjściu”. Innymi słowy – jeśli określimy (subiektywnie) wartości prawdopodobieństwa bez głębszej analizy, to otrzymany wynik (przy obliczaniu wartości oczekiwanej) nie będzie nic wart i może nas wprowadzić w błąd.

Subiektywne prawdopodobieństwo powinno uwzględniać wszelkie posiadane przez nas istotne informacje. Tak więc kluczowe jest to, jakie informacje posiadamy, jakie jesteśmy w stanie pozyskać i co możemy z nimi zrobić. W tym przypadku możliwości jest tak dużo jak dużo jest różnych problemów decyzyjnych. Prawdopodobieństwo suszy możemy obliczyć np. analizując historyczne dane na temat pogody oraz aktualne prognozy. Prawdopodobieństwo wygranej danej drużyny możemy ocenić analizując jej aktualną formę i poprzednie wyniki uzyskane w meczach z danym rywalem. Prawdopodobieństwo wzrostu ceny akcji… możemy wyznaczyć na wiele sposobów, a kilka z nich opiszę zapewne w przyszłości na łamach tego bloga. Głównie bazują one na jednym, kluczowym elemencie – historii. Na rynkach finansowych najczęściej zakłada się, że prawdopodobieństwo wystąpienia jakiegoś zdarzenia w przyszłości jest takie samo jak częstość jego występowania w przeszłości. Jeśli więc posiadamy odpowiednie informacje dotyczące przeszłości (np. dane o zmianach cen akcji), to możemy je wykorzystać jako prognozę tego, co może się stać. Należy oczywiście pamiętać, że zbyt mocna ufność w przyszłość jako odbicie lustrzane przeszłości może narazić nas na negatywne skutki wystąpienia Czarnego Łabędzia.

To prawdopodobnie jeszcze nie wszystko

Prawdopodobieństwo nie jest jedynym czynnikiem, który sprawia, że w niektórych sytuacjach wykorzystanie wartości oczekiwanej do oceny atrakcyjności przedsięwzięcia wydaje się trudne. Drugim jest kwestia wartości. Łatwo jest wyznaczyć wartość oczekiwaną w sytuacjach, które możemy „wycenić” za pomocą pieniędzy lub np. punktów. Nie wszystko jednak da się wycenić pieniądzem. Tutaj z pomocą przychodzi nam jednak Teoria Użyteczności. To już jednak temat na zupełnie inny artykuł.

Aha, zapomniałbym o Leszku. Leszek wziął udział w grze i wyrzucił plusa… Później zdecydował się zagrać jeszcze 2 razy i dwukrotnie wyrzucił plusa. Chciał zagrać czwarty raz, widząc, że ma dobrą passę. "Zabawiacz" stwierdził jednak, że musi już iść, bo zapomniał, że umówił się na ważne spotkanie. Dwóch ludzi, cztery błędy – znakomity temat na następny wpis 😊.

Read More